【Édition People's Education Press】Mathématiques du collège, 7e année, semestre inférieur : La rencontre des angles : du théorème des angles opposés aux angles droits

Imagine une paire de ciseaux complètement ouverte ou la ligne de départ d'une piste d'athlétisme. Dès que les deux lames se croisent, la magie de la géométrie commence. À ce point d'intersection, les angles apparaissent par paires : certains s'ajoutent pour former un angle plat de 180°, d'autres sont symétriques par rapport au sommet. Lorsque ces deux droites atteignent leur état le plus « rigide » — c'est-à-dire lorsque l'un des angles mesure 90° — elles entrent dans une relation d'équilibre extrêmement particulière appeléeperpendiculairesune relation d'équilibre extrême.

Les relations fondamentales entre droites sécantes

Dans un même plan, lorsqu'une droite coupe une autre, deux types importants de relations angulaires apparaissent :

Angles adjacents supplémentaires (angles adjacents sur une droite): ils partagent un côté commun $OC$, et leurs autres côtés sont des prolongements opposés. Numériquement, les angles adjacents supplémentaires sont complémentaires (leur somme est de $180^\circ$).
Angles opposés (angles opposés): ils ont un sommet commun $O$, et les côtés d'un angle sont les prolongements opposés des côtés de l'autre angle.

Raisonnement déductif : les angles opposés sont égaux

Pourquoi les angles opposés sont-ils toujours égaux ? Examinons cela avec une logique rigoureuse :

$because$ $\angle 1$ et $\angle 2$ sont complémentaires (définition des angles adjacents supplémentaires)

$because$ $\angle 3$ et $\angle 2$ sont complémentaires (définition des angles adjacents supplémentaires)

$\therefore$ $\angle 1 = \angle 3$ (les angles complémentaires d'un même angle sont égaux)

Perpendicularité : une position particulière de l'intersection

Perpendiculaire (Perpendicular) est un cas extrême d'intersection. Lorsque deux droites se coupent et forment quatre angles, si un de ces angles mesure $90^\circ$, alors les deux droites sont perpendiculaires. L'une de ces droites est appeléedroite perpendiculaire, et leur point d'intersection est appelépied de la perpendiculaire.

Critères principaux et propriétés fondamentales

Langage symbolique: si les droites $a$ et $b$ sont perpendiculaires, on note $a \perp b$ ; si les segments $AB$ et $CD$ sont perpendiculaires, on note $AB \perp CD$.
Postulat de perpendicularité: dans un même plan, par un point donné, il existe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée. Cela établit l'unicité.
Le segment perpendiculaire est le plus court: parmi tous les segments reliant un point extérieur à une droite aux points de cette droite, le segment perpendiculaire est le plus court.

🎯 Règle fondamentale

Passer de l'intersection à la perpendicularité est un processus où les angles passent de l'état variable à l'état figé. Maîtriser l'usage correct des symboles $because$ (car) et $\therefore$ (donc) est la clé pour entrer dans le domaine de la preuve géométrique.

$\angle AOC = 90^\circ \iff AB \perp CD$

QUESTION 1

Comme indiqué sur la figure, les droites $a$ et $b$ se coupent, et on sait que $\angle 1 = 40^\circ$. Quelles sont les mesures respectives de $\angle 2$ et $\angle 3$ ?

$\angle 2=140^\circ, \angle 3=40^\circ$

$\angle 2=40^\circ, \angle 3=140^\circ$

$\angle 2=140^\circ, \angle 3=140^\circ$

$\angle 2=50^\circ, \angle 3=40^\circ$

QUESTION 2

Quelle est la relation entre deux droites qui se coupent en formant quatre angles égaux ?

parallèles

perpendiculaires entre elles

confondues

impossible à déterminer

QUESTION 3

Laquelle des affirmations suivantes concernant les droites perpendiculaires est correcte ?

On peut tracer une infinité de droites perpendiculaires à une droite donnée passant par un point donné

Dans un même plan, par un point donné, il existe une et une seule droite perpendiculaire à une droite donnée

Le segment perpendiculaire est la distance d'un point à une droite

Deux droites qui se coupent sont nécessairement perpendiculaires

QUESTION 4

Comme indiqué sur la figure, prenez deux baguettes fixées ensemble pour former un modèle d'intersection. Si $\angle \alpha = m^\circ$, quel est l'angle adjacent ?

$m^\circ$

$(180 - m)^\circ$

$(90 - m)^\circ$

Impossible à calculer

QUESTION 5

Lors de l'installation des rails, sachant que l'angle entre les rails et les traverses est $\angle 2 = 90^\circ$, quelle mesure d'angle permet de déterminer si les deux rails sont parallèles ?

Mesurez $\angle 5$ ; si $\angle 5 = 90^\circ$, alors les rails sont parallèles

Mesurez $\angle 5$ ; si $\angle 5 = 45^\circ$, alors les rails sont parallèles

Il suffit de regarder $\angle 2$

Mesurez la longueur des traverses

QUESTION 6

Comme indiqué sur la figure, $PO \perp l$, et le point A se déplace le long de la droite $l$. Comparez les longueurs des segments $PO$ et $PA$. Quelle est la conclusion ?

$PO > PA$

$PO = PA$

$PO \le PA$

Impossible à comparer

QUESTION 7

Que signifient respectivement les symboles « $\because$ » et « $\therefore$ » ?

car, donc

donc, car

égal à, congru à

pied de la perpendiculaire, perpendiculaire

QUESTION 8

Si $\angle 1$ et $\angle 2$ sont des angles adjacents supplémentaires, et que $\angle 1 = 35^\circ$, quelle est la mesure de $\angle 2$ ?

$35^\circ$

$145^\circ$

$55^\circ$

$155^\circ$

QUESTION 9

Quelle est la véritable nature de la construction d'une droite perpendiculaire à un segment ?

Tracer une perpendiculaire passant par le milieu du segment

Tracer une perpendiculaire à la droite contenant le segment

Tracer une perpendiculaire passant par une extrémité du segment

Tracer un segment plus long